Teori Grup

Teori grup adalah abstraksi gagasan yang umum untuk sejumlah bidang utama yang sedang dipelajari dasarnya secara bersamaan.

Tiga bidang utama yang menimbulkan teori grup adalah:

A.     Geometri pada awal abad 19, 

Geometri telah dipelajari untuk waktu yang sangat lama sehingga wajar untuk bertanya apa yang terjadi pada geometri pada awal abad 19 yang memberikan kontribusi pada peningkatan konsep kelompok. Geometri telah mulai kehilangan 'metrik' nya karakter dengan geometri proyektif dan non-euclidean sedang dipelajari. Juga gerakan untuk belajar geometri dalam dimensi n mengarah ke abstraksi dalam geometri itu sendiri. Perbedaan antara dan kejadian geometri metrik berasal dari karya Monge , muridnya Carnot dan mungkin yang paling penting pekerjaan Poncelet. Non-euclidean geometri dipelajari oleh Lambert , Gauss ,Lobachevsky dan János Bolyai antara lain.

Möbius pada tahun 1827, meskipun ia benar-benar menyadari konsep kelompok, mulai mengklasifikasikan geometri menggunakan fakta bahwa geometri tertentu studi sifat invarian bawah kelompok tertentu. Steiner pada tahun 1832 mempelajari pengertian geometri sintetis yang akhirnya menjadi bagian dari penelitian kelompok transformasi.

B.     Teori bilangan pada akhir abad ke 18, 

Tahun 1761 Euler belajar aritmatika modular. Secara khusus ia memeriksa sisa kekuasaan dari modulo n nomor. Meskipun Euler pekerjaan ', tentu saja, tidak dinyatakan dalam istilah teoritis kelompok dia tidak memberikan contoh penguraian kelompok abelian ke cohimpunans dari sebuah subkelompok. Dia juga membuktikan sebuah kasus khusus dari urutan subkelompok menjadi pembagi dari tatanan kelompok.
Gauss pada tahun 1801 adalah untuk mengambil Euler pekerjaan 'lebih jauh dan memberikan cukup banyak bekerja pada aritmatika modular yang berjumlah cukup banyak teori kelompok abelian. Dia memeriksa perintah elemen dan membuktikan (meskipun tidak dalam notasi ini) bahwa ada sub untuk himpunaniap nomor membagi urutan grup siklik. Gauss juga diperiksa kelompok abelian lainnya. Dia memandang bentuk kuadrat biner

ax^2 + 2 bxy + cy^2 di mana a, b, c adalah bilangan bulat.

Gauss memeriksa perilaku bentuk yang transformasi dan substitusi. Dia partisi bentuk ke dalam kelas dan kemudian menentukan komposisi di kelas. Gaussmembuktikan bahwa urutan komposisi tiga bentuk adalah material begitu, dalam bahasa modern, hukum asosiatif berlaku. Bahkan Gauss memiliki kelompok abelian terbatas dan kemudian (tahun 1869).

C.     Teori persamaan aljabar pada akhir abad ke 18 yang mengarah ke studi tentang permutasi. 

Permutasi pertama kali dipelajari oleh Lagrange dalam makalahnya 1770 pada teori persamaan aljabar. Lagrange 's objek utama adalah untuk mengetahui mengapa dan quartic persamaan kubik dapat diselesaikan secara aljabar. Dalam mempelajari kubik, misalnya, Lagrange mengasumsikan akar dari persamaan kubik yang diberikan adalah x',''x dan x'''. Kemudian, mengambil 1, w, w^2 sebagai akar kubus persatuan, ia memeriksa ekspresi

R = x '+ wx''+ w^2 x'''

dan catatan yang dibutuhkan hanya dua nilai yang berbeda di bawah enam permutasi dari akar x ', x'', x'''. Meskipun awal kelompok teori permutasi dapat dilihat dalam karya ini, Lagrange tidak pernah composes permutasi nya sehingga dalam beberapa hal tidak pernah membahas kelompok sama sekali.

Orang pertama yang mengklaim bahwa persamaan derajat 5 tidak bisa diselesaikan secara aljabar adalah Ruffini

Pada tahun 1799 ia menerbitkan karya yang tujuannya adalah untuk menunjukkan hal tdk dpt memecahkan persamaan quintic umum. Ruffini karya 'didasarkan pada bahwa dari Lagrange tetapi Ruffini memperkenalkan kelompok permutasi. Ini dia sebut permutasi dan secara eksplisit menggunakan properti penutupan (hukum asosiatif selalu berlaku untuk permutasi). Ruffini membagi permutazione ke dalam jenis, permutasi semplice yaitu yang merupakan grup siklik dalam notasi modern, dan composta permutasi yang kelompok-kelompok non-siklik. 

Permutasi composta The Ruffini terbagi menjadi tiga jenis yang dalam notasi saat ini adalah kelompok intransitif, kelompok imprimitive transitif dan kelompok primitif transitif.

Bukti Ruffini dari hal tersebut mengecewakan dengan kurangnya reaksi terhadapnya, kertas Ruffini diterbitkan bukti lebih lanjut. Dalam sebuah kertas 1802 ia menunjukkan bahwa kelompok permutasi dikaitkan dengan sebuah persamaan tereduksi transitif mengambil pemahaman dengan baik di luar itu dari Lagrange .

Cauchy memainkan peran utama dalam mengembangkan teori permutasi. kertas pertamanya pada subyek tersebut adalah pada tahun 1815 tetapi pada tahap iniCauchy dimotivasi oleh permutasi dari akar persamaan. Namun, pada tahun 1844, Cauchy menerbitkan karya besar yang membentuk teori permutasi sebagai subyek di dalam dirinya sendiri. Dia memperkenalkan notasi kekuasaan, positif dan negatif, permutasi (dengan kekuatan 0 memberikan permutasi identitas), mendefinisikan urutan dari suatu permutasi, memperkenalkan notasi siklus dan menggunakan istilah Systeme des conjuguées substitusi grup. Cauchy panggilan dua permutasi sama jika mereka memiliki struktur siklus yang sama dan membuktikan bahwa ini adalah sama dengan permutasi yang konjugat.

Abel , pada tahun 1824, memberikan bukti diterima pertama dari hal tdk dpt mencairkan dari quintic, dan ia menggunakan ide-ide yang ada di permutasi dari akar tetapi sedikit baru dalam perkembangan teori grup.

Galois tahun 1831 adalah yang pertama untuk benar-benar memahami bahwa solusi dari suatu persamaan aljabar adalah terkait dengan struktur kelompok le Groupe permutasi yang berkaitan dengan persamaan. Dengan 1832 Galois telah menemukan bahwa sub kelompok khusus (sekarang disebut subkelompok normal) yang mendasar. Dia menyebut kelompok dekomposisi ke dalam cohimpunans dari sub dekomposisi yang tepat jika hak dan dekomposisi cohimpunan kiri bersamaan. Galois kemudian menunjukkan bahwa abelian sederhana kelompok non-order terkecil memiliki urutan 60.

Pekerjaan Galois tidak diketahui sampai Liouville menerbitkan makalah Galois pada tahun 1846. Liouville melihat dengan jelas hubungan antara teori permutasi Cauchy dan pekerjaan Galois. Namun Liouville gagal untuk memahami bahwa pentingnya Galois bekerja terletak pada konsep kelompok.

Betti mulai pada tahun 1851 menerbitkan karya yang berhubungan teori permutasi dan teori persamaan. Bahkan Betti adalah yang pertama untuk membuktikan bahwa Galois 'kelompok yang terkait dengan persamaan sebenarnya sekelompok permutasi dalam pengertian modern. Serret menerbitkan sebuah pekerjaan penting membahas Galois 'kerja, masih tanpa melihat pentingnya konsep kelompok.

Jordan dalam makalah dari 1869 dan 1870 menunjukkan 1865 bahwa ia menyadari pentingnya kelompok permutasi. Ia mendefinisikan isomorfisma kelompok permutasi dan membuktikan Jordan - Pemegang teorema untuk kelompok permutasi. Holder adalah untuk membuktikan dalam konteks kelompok abstrak pada tahun 1889.

Klein mengusulkan Program Erlangen pada tahun 1872 yang merupakan teori klasifikasi kelompok geometri. Kelompok tentu menjadi tengah panggung dalam matematika.
Mungkin perkembangan yang paling luar biasa datang bahkan sebelum Betti. Hal ini disebabkan bahasa Inggris matematikawan Cayley . Pada awal 1849 Cayley menerbitkan kertas menghubungkan ide-idenya pada permutasi Cauchy. Pada tahun 1854 Cayley menulis dua makalah yang luar biasa untuk wawasan mereka memiliki kelompok abstrak. Pada waktu itu dikenal kelompok hanya itu kelompok permutasi dan bahkan ini adalah daerah baru secara radikal, namun Cayley mendefinisikan sebuah kelompok abstrak dan memberikan tabel untuk menampilkan perkalian kelompok. Dia memberikan Cayley tabel dari beberapa kelompok permutasi khusus tetapi, jauh lebih signifikan untuk pengenalan konsep grup abstrak, dia menyadari bahwa matriks dan quaternions adalah kelompok.

Cayley makalah tentang 1854 sangat jauh di depan waktu mereka bahwa mereka memiliki dampak yang kecil. Namun ketika Cayley kembali ke topik pada tahun 1878 dengan empat makalah tentang kelompok, salah satu dari mereka yang disebut Teori kelompok, waktu yang tepat untuk konsep abstrak kelompok bergerak menuju pusat penyelidikan matematika. Cayley terbukti, di antara hasil lainnya, bahwa himpunaniap kelompok hingga dapat direpresentasikan sebagai suatu grup permutasi. Cayley karya diminta Hölder, pada tahun 1893, untuk menyelidiki kelompok order p 3, pq 2, PQR dan p 4.
Frobenius dan Netto (mahasiswa Kronecker ) membawa teori kelompok maju. Sejauh konsep abstrak yang bersangkutan, penyumbang utama berikutnya adalah Von Dyck. Von Dyck , yang telah memperoleh gelar doktor di bawah Klein 'supervisi kemudian menjadi asisten Klein. Von Dyck , dengan kertas fundamental pada tahun 1882 dan 1883, dibangun gratis kelompok dan definisi kelompok abstrak dalam hal generator dan hubungan.

Teori grup benar-benar datang dari umur dengan buku oleh Burnside Teori kelompok order hingga diterbitkan pada tahun 1897. Kedua volume aljabar buku oleh Heinrich Weber (seorang mahasiswa Dedekind ) Lehrbuch der Aljabar diterbitkan pada tahun 1895 dan 1896 menjadi teks standar. Buku-buku ini mempengaruhi generasi berikutnya matematikawan membawa teori grup ke mungkin yang utama sebagian besar teori matematika abad ke 20.

Sumber

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Development_group_theory.html